La Astronomía y las Matemáticas en el Egipto Antiguo
Conferencia del curso 1998-9 de la AEDE
El hombre, ya desde épocas prehistóricas, sintió gran curiosidad por aquello que
lo rodeaba, más aún por todo lo que le suponía un sentimiento de inferioridad,
lo que era incapaz de entender, e intentó, con todas sus fuerzas, penetrar en
los conocimientos ocultos de la madre Naturaleza. Cuando sintió que no podía
albergar ninguna esperanza en la comprensión de los seres o fenómenos
naturales, los deificó, hizo de ellos entes sobre y "supernaturales", divinidades
que gobernarían su vida y el devenir de la propia especie resumida en su tribu.
Con el tiempo, algunos clanes religiosos o
chamánicos de amplia visión, mediante largas y tediosas observaciones,
conseguirían interpenetrar en la esencia de su deidad y transformar lo que
había sido una creencia religiosa en los cimientos de la ciencia, entendida
como el conocimiento de aquello que existe por sí mismo, lo increado por el
hombre.
Los habitantes del Nilo, gracias a esa natural
fuente de vida, pudieron dedicar mucho tiempo al estudio de los cuerpos
celestes y al desarrollo, por parte de las castas sacerdotales de complejas
mitologías que aunaron el espíritu científico de conocimiento y comprensión de
la Naturaleza con las necesidades teológicas encaminadas a la vida de
ultratumba, el ciclo de la muerte y resurrección.
A lo largo de esta primera parte iremos descubriendo
los aspectos más interesantes del conocimiento egipcio de los astros, así como
su aplicación a la vida cotidiana.
La observación de los astros se llevaría a cabo
en los templos y ‘casas de la vida’ (pr-anx) por un grupo de sacerdotes astrónomos (jmy-wnwt, wnwty)
que han pasado a la posteridad gracias a sus retratos funerarios. El astrónomo
Anem, que vivió durante la XVIII Dinastía, es fácilmente reconocible en su
estatua del museo de Turín por su túnica repleta de estrellas. Es frecuente que
expresaran sus conocimientos, tanto en sus esculturas como en los instrumentos
de medida. Así en el pilar posterior de la estatua de Harkhebi, encontrada en
1906 por Ahmed Kamel
en Tell Faraou, podemos leer:
‘... quien observa todas
las cosas visibles en la tierra y en el cielo, un experto en la observación de
las estrellas sin errar, quien es capaz de anunciar su salida y su puesta,...’.
Y en una escuadra perteneciente a Hor, un
astrónomo que vivió en Egipto en el siglo VI a.C. está inscrito:
‘Conocí los movimientos de
los dos discos (en referencia al Sol y a la Luna) y de cada una de las
estrellas en su morada, para el ka del astrónomo Hor, el hijo de Horuedja’.
En una mirada al cielo egipcio, estos sabios
reconocerían varios tipos de cuerpos celestes: 1) el Sol; 2) la Luna (jaH) con sus cuatro fases
(nueva, creciente, llena, decreciente); 3) tres grupos de estrellas: las
circumpolares o indestructibles (jxmw-sk); las no circumpolares (jxmw-wrD)
y los planetas. Por aquella época eran detectables 5 de ellos: Mercurio (sbgw), Seth en el crepúsculo,
siempre en conjunción con el sol; Venus (DA
baH), la estrella que cruza al pájaro Benu y a
Osiris; Marte, el Horus rojo que navega a través del occidente; Júpiter (¡r
tAS tAwy), el
Horus del límite de las Dos Tierras, la estrella del cielo sur; Saturno (¡r kA-mwt.f pt),
el Horus Kamutef del cielo, la estrella que cruza el cielo oriental.
El Sol como fuente de vida, fue parte esencial
en el mundo egipcio. Describieron tanto su movimiento este-oeste como su
desplazamiento norte-sur desde el solsticio de invierno al de verano. Al amanecer es expulsado por la vulva de Nut en
la forma de Khepri, el escarabajo solar, alcanzando su
culminación como Ra, para ser tragado, al final de la noche, por las fauces de
la bóveda celeste bajo el aspecto de Atum. Recorriendo el cuerpo de la diosa
pasaría las horas nocturnas para completar el ciclo diario con el amanecer del
nuevo día.
El movimiento solsticio-equinoccio generado por
la rotación de la Tierra alrededor del Sol es patente en la iluminación del
sancta-sanctorum del templo de Abu Simbel construido por Ramsés II en Nubia. Es conocido por todos, que dos veces al año, los
rayos solares inciden sobre las estatuas de Amón-Ra, Ramsés II y Ra-Horakhety,
pero nunca iluminan el rostro de Ptah, el dios de las sombras, en el fondo de
este santuario rupestre.
Las posiciones estelares junto con la dirección
de la corriente del Nilo sirvieron a los sacerdotes egipcios para la
orientación de alguno de sus monumentos. Se dice que los cuatro lados de la Gran
Pirámide de Khufu (Keops) en la llanura de Giza marcan, con gran precisión, los
cuatro puntos cardinales.
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| Orientación estelar de los conductos de ventilación de la pirámide de Keops. |
De forma semejante, la puesta de sol en el
solsticio de verano coincide con la entrada del templo de Karnak a través de su
avenida de esfinges.
Pero la verdadera importancia de la observación
astronómica egipcia estriba en la división y medición del tiempo, la creación
de calendarios que facilitasen el ordenamiento de la vida civil en el país del
Nilo.
Los
egipcios de época predinástica y, posiblemente durante las primeras dinastías,
se regían por un calendario lunar que fue mantenido en la liturgia hasta
tiempos tardíos. La Luna da una vuelta completa alrededor de la Tierra en su
movimiento de traslación en 29,5 días aproximadamente, lo que implica que un
año civil comprendería 12,3 meses lunares, siendo el año lunar de 354 días, 11
días más corto que el solar. Para eliminar este desfase se hace imprescindible
la creación de años de 13 meses, con la adición del mes Djehuty (Thot).
Hay un documento de época tardía, el papiro
Carlberg 9, fechado en el año 7 del reinado de Antonino
(144/5 d. C.) en el que se demuestra el conocimiento de un ciclo lunar de 25
años con 16 años cortos de 12 meses y 9 largos, de 13, con el fin de cuadrar el
año lunar y el año civil.
Para concretar esta alternancia de años cortos y
largos, Parker y Neugebauer sugieren que
cuando la elevación de la estrella Sirio ocurre dentro de los 11 últimos días
de wp-rnpt,
se añadiría el mes supernumerario.
Estos mismos autores intentaron reforzar la
existencia de un calendario lunar a través de un texto presente en la tumba de
Khnumhotep II en Beni-Hassán (Urk VII 29, 18) en el que se habla de la fiesta
del año grande, que asimilaron al de 365 días, y la fiesta del año pequeño, el
de 354 días, el lunar. Pero esto no es compartido por todos los autores.
El año civil egipcio constaba de 3 estaciones de
4 meses cada una con 3 semanas de 10 días, las décadas (tp-ra-mD):
la estación de la ‘inundación’ (Axt), que comprende los meses de txt, mnxt, Hwt-Hr
y kA-Hr-kA;
de la ‘siembra’ (prt) con Sf-bdt,
rkH 1, rkH 2 y rnwtt; y de la recolección (Smw) durante el verano con xnsw, xnt-Xt,
jpt, wp-rnpt,
el abridor del año.
El origen de los meses de 30 días estaría en la
división de los 365 días del año civil por los 12 meses lunares, quedando como
resto 5, los días adicionales reservados al nacimiento de los principales dioses
egipcios.
El comienzo del año vendría marcado por la
aparición de la estrella Sirio (spd[t]) en el horizonte del cielo. Sirio, la estrella
más brillante del cielo con una magnitud de -1,6 que se ubica en la
constelación del Can Mayor, no es en realidad un único cuerpo celeste, sino la
expresión de un sistema binario, con una estrella Sirio A de brillo 26 veces el
de nuestro Sol, y una compañera, Sirio B, una enana blanca, mucho más pequeña y
no visible a simple vista.
La elección de Sirio parece estar relacionada
con la coincidencia que existe entre la elevación de la estrella y la crecida
del Nilo. Esto ha llevado a muchos estudiosos a considerar el origen del
calendario civil egipcio como agronómico y no astronómico.
Han llegado hasta nosotros algunos escritos
relacionados con este acontecimiento. En los Textos de las Pirámides (965) leemos:
“Es Sirio tu querida
hermana quien prepara el sustento anual para ti en este nombre suyo de ‘Año’ (rnpt)”.
La existencia del año civil estaba en uso, con
toda probabilidad, desde la época del faraón Neferirkara. Los Anales
de la Piedra de Palermo (Urk I 246, 12) correspondientes al primer año de
reinado del monarca nos comentan que
“(se celebra la fiesta) del nacimiento de
los dioses’,
...en una clara referencia a los cinco días epagómenos (Hrw rnpt).
Como es sabido durante estos días se festejaba la venida al mundo de cinco de
las divinidades más importantes del panteón egipcio. Así el primer día era
dedicado al nacimiento de Osiris, dios funerario por excelencia; el segundo, al
de Horus, dios halcón hijo del anterior y de Isis; el tercero al nacimiento de
Seth; y los dos últimos a los dos milanos, Isis y Nephtis.
En la tumba de Nekanj, un mayordomo de la gran mansión, supervisor de
las ciudades nuevas, supervisor de los profetas de Hathor y conocido real, que
vivió durante los reinados de Menkaura (Micerinos) y Userkaf, encontramos un reparto de funciones
sacerdotales entre sus hijas e hijos. El texto (Urk I 25, 12/3) comienza:
“A la conocida del rey
Hedjetjekenu, señora venerable, un campo de 5 aruras durante los cinco días epagómenos y el primer mes
de la estación de ‘akhet’”.
Además, en la versión de Pepi II de los Textos de las Pirámides se confirma su existencia:
“El príncipe asciende en
una gran tormenta desde el horizonte más interno, ve la preparación para el festival,
la realización de los (ritos) de incineración (y) el nacimiento de los dioses
ante ti en los cinco días epagómenos”.
La comparación del año civil, de 365 días, con
el año tropical (entre dos solsticios consecutivos), de 365,24220 días, o con
el año sideral (entre dos conjunciones Tierra-Sol consecutivas), de 365,25636
días, genera un desfase de 1 día cada 4 años provocando que 1.460 años sotíacos
se correspondan con 1.461 años civiles.
Llegados a este punto, se abre la discusión
sobre la adición o no, por los egipcios, de un sexto día epagómeno al
calendario civil para contrarrestar el desfase anterior.
En los registros del templo de Illahun se han
descubierto datos sobre la elevación sotíaca. Conocemos por el papiro 10.012
del museo de Berlín la existencia de una discordancia en el reinado de Senuseret (Sesostris)
III entre el calendario civil y solar. El príncipe y supervisor del templo Nebukaura habla al
sacerdote lector principal Pepyhotep. Dice:
“Debes conocer que la
salida de Sirio ocurrirá el día 16 del cuarto mes de la estación de ‘peret’".
Un claro desfase en
relación con el día 1 del primer mes de la estación de ‘akhet’.
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| Calendario del papiro Ebers. |
Parece evidente que los egipcios deberían conocer
que en cada periodo de 4 años Sirio saldría por el horizonte un día después, pero
no lo aplicaron, al menos, en este caso.
La diferencia entre ambas dataciones ha llevado
a los estudiosos del tema a intentar predecir la fecha del origen del primer
calendario. Se conoce que en el año 139 d.C. la elevación de Sirio coincide con
el comienzo del año civil. Restando el valor del ciclo sotíaco de 1.460 años
llegaríamos a cifras 1321, 2781 y 4241 a.C. La primera de ellas, 1321,
corresponde al Reino Nuevo, a los reinados de Ay o Horemheb, por lo que resulta demasiado tardía. El 4241 cae en el
ámbito de la Protohistoria egipcia por lo que no parece la elegida. Solamente
nos queda el 2781 a.C., cuando en Egipto reinaba la I dinastía.
Un problema añadido que nos impide precisar la
fecha original, es el lugar de observación. El arco de visión, distancia de
Sirio al Sol cuando la estrella sotíaca es visible al amanecer, provoca una
variación de varios años si la anotación fue realizada en Heliópolis o en
Elefantina. Incluso las condiciones atmosféricas de la observación podrían
influir significativamente.
Volviendo a la adición de un sexto día. La
génesis de años bisiestos se conoce con seguridad desde el 238 a.C., fecha de
promulgación del decreto de Canopus, una inscripción bilingüe encontrada por Richard Lepsius en una
de sus expediciones a Egipto, grabado en una losa de piedra caliza, en grafías
griega, jeroglífica y demótica, actualmente custodiado en el museo de El Cairo
(22.186).
Por otro lado, y debido al fenómeno de la
precesión de los equinoccios, entre el 4231 y el 231 a.C., la aparición de
Sirio en el horizonte sufrió un retraso de 1 día que habría que tener en
consideración a la hora de elaborar un calendario exigente. Pero si tenemos en
cuenta que la modificación es mínima en un periodo de 4 milenios, la vida
egipcia no se vería afectada por esta leve omisión.
División horaria del día y de la noche
Una vez estudiados, de forma somera, los calendarios
utilizados en el Egipto antiguo, nos introduciremos en la división horaria del
día. Para los habitantes del Nilo, tanto el periodo de luz solar como la noche
constarían de 12 horas cada uno, de longitud heterogénea, con variaciones estacionales.
Durante el verano las horas del día serían más largas (recordad que siempre son
doce), mientras que en el periodo invernal, son las horas nocturnas las que
aumentan su longitud.
Los periodos horarios nocturnos se valoraban por
la aparición en el horizonte o la culminación de una estrella o grupos de
estrellas, llamados DECANOS. La división horaria (wnwt) se conoce desde finales de la V Dinastía. En
los Textos de las Pirámides grabados
en la pirámide de Unas
podemos leer en el versículo 269a:
‘¡Oh tú que estás sobre las
horas, quien está ante Ra!’
…y en el 515a:
‘El rey ha aclarado la
noche, ha despachado las horas’.
Una hora sería el periodo de tiempo entre la
elevación de un grupo estrellas y el siguiente, motivo por el cual las horas
tienen diferente longitud. Como cada día el decano saldría un poco antes, se
produciría un acortamiento paulatino de la primera hora que se medía desde la
oscuridad hasta la aparición decanal. Y de forma inversa, se alargaría la
última hora.
Esta medición horaria se realizaba mediante los
relojes decanales, textos jeroglíficos con representaciones de los
decanos que se muestran en algunos sarcófagos del Primer periodo intermedio e
inicio del Reino Medio.
El que presenta los textos más fiables es el del
principal, canciller del bajo Egipto, amigo único, supervisor de los sacerdotes
de Upuat y señor de Assiut, Meshet, que vivió a finales de la IX y principio de
la X Dinastía, cuyo sarcófago fue descubierto en esa localidad en 1893. Actualmente se encuentra en el Museo de El
Cairo catalogado con el número 28.118. En la parte derecha de la diapositiva
puede verse a Nut soportando la bóveda celeste, el jeroglífico (pt), la constelación del
Muslo (Osa Mayor), Orión y Sirio.
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| Sarcófago con una representación de los relojes decanales. |
Estos relojes son también llamados diagonales
por el desplazamiento diagonal de cada decano a lo largo de las diferentes
décadas.
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| Techo astronómico de la cámara del sarcófago de la tumba de Ramsés IV en el Valle de los Reyes. |
La diosa celeste aparece con los pies en el este,
lugar de la salida del sol, y los brazos en el oeste; todo su cuerpo está
arqueado, soportado por el dios Shu, encargado de separar el cielo (Nut) de la
tierra (Geb).
Una representación del viaje nocturno solar se dibujo
de forma compleja en la tumba de Ramsés VI en el Valle de los Reyes.
El número de decanos es de 36, uno nuevo para
cada una de las décadas, a los que se añaden 12 decanos complementarios para
los cinco días epagómenos. Los decanos 26-29 están relacionados con Orión y los
30-31 con Sirio.
Como parece evidente, las estrellas decanales,
que no son circumpolares, permanecerían 70 días en la duat, por lo que no
serían visibles en ese periodo; 80 días en el cielo este hasta alcanzar su
culminación; trabajarían 120 días (12 horas x 10 días de una década),
comenzando por marcar la hora 12 y finalizando en la hora 1. Luego, antes de
descansar en el Más Allá, se verían durante 90 días en el cielo oeste.
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| Tabla astronómica decanal de la tumba de Ramsés VI. |
Una variante mejorada de los relojes decanales
se encuentra en las tumbas del Valle de los Reyes desde Ramsés VI.
Además del tránsito del meridiano se incluyen
los tránsitos de líneas anteriores y posteriores. Consta de 24 tablas de 13
filas estelares con la primera de ellas marcando la primera hora de la noche.
Cada columna está acompañada por la figura de un hombre sentado. En la parte izquierda
de las tablas aparecen 7 líneas verticales que se corresponderían con las
líneas de culminación. La línea central (r-aqA-jb), la que está en medio del corazón, señala el
meridiano y las otras seis, tres a la izquierda y tres a la derecha, son
descritas como rectas trazadas según las posiciones anatómicas de la figura
representada. De izquierda a derecha tenemos la línea sobre el hombro izquierdo
(Hr qaH jAby),
sobre la oreja izquierda (Hr msDr jAby), sobre el ojo izquierdo (Hr jrt jAby),
la línea central o meridiana, la línea sobre el ojo derecho (Hr jrt wnmy),
sobre la oreja derecha (Hr msDr wnmy) y sobre el hombro derecho (Hr qaH wnmy).
Cada una de las horas se correspondería con un conjunto de posiciones
estelares, lo que las precisaría mucho.
¿Cómo se realizaría la medición? Mediante un
instrumento llamado (mrxt) constituido
por una escuadra de la que colgaba un hilo a modo de plomada que servía para
realizar el alineamiento con el segundo elemento, una hoja de palma (bAy) con una hendidura en la
parte superior.
Gracias a este artilugio, y con dos sacerdotes
sentados en la línea del meridiano local, se realizaría el alineamiento con las
estrellas tras haberse alineado previamente con la “estrella polar” del momento.
Ahora, solamente quedaba consultar las tablas astronómicas para saber la hora
de la noche en la que se encontraba el templo.
Es interesante hacer notar que las tablas debían
ser propias de cada una de las poblaciones egipcias y no podían intercambiarse,
pues las posiciones estelares variarían con la latitud. O sea, que los
resultados tomados en un punto no podían trasladarse a otro lugar. Un verdadero
inconveniente.
No se utilizan datos de décadas como en los relojes
diagonales precedentes, sino 24 periodos de medio mes.
 |
| Método para la medición de las horas de la noche. |
Las horas de la noche están bajo la advocación
de parejas divinas que no serán tratadas aquí por su extensión.
Un paso más en la evolución de la medición del
tiempo fueron los relojes de agua que permiten una mayor aproximación a la
equidad horaria.
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| Clepsidra de Amenemhat III. |
Se trata de un recipiente tronco-cónico invertido
con una inclinación de 110 ° que se llenaría de un líquido, posiblemente agua,
que saldría al exterior por un orificio cercano al fondo. Este instrumento
tendría 12 escalas, una para cada mes, ajustadas a la longitud de la noche. La
longitud de la escala larga es de 14 dedos, aplicable al mes del solsticio de
invierno, mientras que la de la noche más corta del año (solsticio de verano)
es de 12 dedos. El flujo de emisión se ha calculado en 10 gotas /segundo.
¿Por qué la forma tronco-cónica? La presión
atmosférica en un recipiente cilíndrico o prismático provocaría que se vertiera
más agua en las primeras horas de la noche que en las últimas, descendiendo el
nivel de forma irregular. Esto se evita con un paraboloide de difícil fabricación
en época egipcia. Así que se ajustan a la forma más parecida posible, un tronco
de cono.
Otra clepsidra conocida se ha fechado en época
del rey Ptolomeo II
Philadelphus Arrhidaeus, está fabricada en basalto.
En cuanto a los relojes de flujo interior, el
único que no parece una ofrenda votiva fue encontrado en Edfú por Maspero en 1901.
Es un vaso cilíndrico de caliza adornado con un
relieve de Djehuty (Thot), cuyo diámetro mide 285 mm y su altura 300 mm. En
estos modelos el flujo de goteo es constante, de ahí su forma geométrica. Si
utilizáramos un recipiente tronco-cónico se produciría un error en la medición.
En el interior del recipiente aparece una escala calibrada, de 12 a 14 dedos
para los distintos periodos mensuales.
Se tiene noticia de la existencia de relojes
prismáticos por un relieve del templo de Luxor en el que se muestra a Amenhotep
III ofrendándolo a la diosa Mut, consorte de Amón en Tebas. Como apreciamos en
la figura consta de un prisma con la forma del jeroglífico (Hn) al que se adosa la figura
de Djehuty (Thot).
Hasta ahora, hemos dedicado la mayor parte de
nuestro tiempo a revisar los procedimientos de medición utilizados durante la
noche en los templos y palacios egipcios, pero la mayor parte de la ciudadanía
realizaba sus labores diarias en el periodo que iba desde la aparición de los
primeros rayos solares hasta el ocaso, por lo que se hace imprescindible el
estudio de los relojes de día.
Se basan en el movimiento solar y pueden ser de
dos tipos:
a) Los llamados relojes de sombra. Instrumentos capaces de medir la longitud de la
sombra proyectada por un objeto sobre una regla calibrada.
b) Los relojes
de sol. Conocidos por todos. En ellos se valora el cambio de dirección de
la sombra proyectada por una varilla.
El primer tipo, los relojes de sombra, se conoce
desde el I Periodo Intermedio. El manuscrito de las Profecías de Neferty nos
dice en sus líneas 52/3:
 |
| Esquema de la construcción de un reloj de sombra grabado en el cenotafio de Seti I en Abidos. |
En clara referencia a la desaparición de la sombra cuando el Sol está en su cénit, momento en el que habrá que cambiar la orientación del reloj de sombra.
Una descripción detallada de este instrumento de medida solar aparece en el lado oeste del techo de la cámara del sarcófago del cenotafio de Seti I en Abidos.
El reloj consta de un tablero horizontal (mrtwt) de 5 palmos de longitud con una cabeza vertical fija en uno de los extremos a la que se une una barra cruzada (mrxt) de dos dedos de altura. En el tablero horizontal aparecen 4 marcas de medida a 30, 18, 9 y 3 unidades de la cabeza (12-9-6-3 en el dibujo).
 |
| Esquema de un reloj de sombra |
El artilugio se orientaría al comienzo del día en dirección este-oeste, con la tabla transversal norte-sur situada en el extremo oriental de la tabla calibrada. Cuando se inicia la segunda hora del día, la sombra alcanza la primera marca. Al llegar a la hora sexta, el sol incidiría perpendicularmente sobre el objeto y la sombra se anularía. En ese momento se gira el reloj que seguirá en funcionamiento hasta la hora décima.
 |
| Reloj de Berlín |
Un ejemplar de este tipo de época de Thutmose
III, actualmente en Berlín, catalogado con el número 19.744, presenta 5 marcas
horarias. Otro aparato procedente de Sais (Berlín 19743) tiene 6 marcas
completando las doce horas del día.
 |
| Reloj de sombra inclinado del museo Petrie. |
De nuevo, el principal inconveniente es el
cambio de la declinación solar con las estaciones. Si suponemos que las marcas
son equinocciales, se necesitaría algún procedimiento de modificación para que
su utilidad fuese anual. BRUIN sugiere que la altura de la cruceta fuese
variable, pero no se ha encontrado aún ningún objeto que pueda realizar esta
función.
Existen modelos en los que la sombra se proyecta
sobre un plano inclinado, como el de Qantara, fechado en el año 320 a.C. con
siete escalas de longitud variable y 6 puntos horarios. Incluso hay un
instrumento de medición múltiple (33.401 del Museo de El Cairo) donde se combinan
superficies planas, escaleras y un plano inclinado como receptores de la sombra
solar.
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| Reloj del museo de El Cairo. |
 |
| Reloj de Sol del museo de Berlín. |
El segundo tipo de reloj diurno es el reloj de
sol. Como ya sabemos, consta de una superficie orientada este-oeste y una
plomada. El número de divisiones es variable, aunque con preferencia son 13.
Como en los objetos anteriores, no es capaz de medir horas iguales. Durante los
equinoccios las horas centrales son demasiado largas, mientras que las
centrales son más cortas.
El primer ejemplar conocido procede de Gezer, en
Palestina. Es un pequeño disco de marfil fechado en el reinado de Merenptah.
Hay algunas trazas de calendarios con divisiones
equivalentes de las horas: el reverso del folio 14 del papiro ramésida 86.637
del museo de El Cairo tiene una tabla con incrementos regulares de 2 horas, y
la placa de Tanis, fechada en el reinado de Neco II de la XXVI dinastía, en la que se muestran
grandes imprecisiones en las divisiones horarias.
Una vez repasados los calendarios usados en
época dinástica, haremos una breve referencia a la datación relativa que
comienza con el año de ascenso al trono de un nuevo monarca. El inicio de la estela de Gebel Barkal de Thutmose III
dice así:
‘En el año 47 de reinado,
en el tercer mes de la estación de ‘akhet’, el día 10’.
Techos astronómicos
Ahora nos introduciremos en otro aspecto del
conocimiento astronómico egipcio: los techos astronómicos, en los que las
representaciones decanales son listadas de modo distinto a los relojes
diagonales de los sarcófagos.
Como precursor de estos diagramas astronómicos
figura el sarcófago de Heny,
un noble de la XI dinastía.
Comenzaremos nuestra descripción con la tumba
tebana 353, perteneciente a Senmut, un alto dignatario de la reina Hatshepsut.
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| Panel meridional de la tumba de Senmut. |
La tumba 353, vacía e inacabada, está ubicada a la
entrada del templo funerario de Hatshepsut en Deir el-Bahari. En su techo aparecen dos
paneles astronómicos. El meridional muestra en sus líneas 7-29 alguno de los decanos;
en su parte inferior, entre las columnas 7-12 se ha dibujado la constelación
del barco, que según POGO, solapa con Escorpio; entre la 14-16, aparece un
carnero; entre la 21-23, un huevo; más adelante, en las columnas 24-28 está
representada la constelación de Orión en donde se aprecian claramente visibles
las tres estrellas de su cinturón; en la 29, Isis tocada con una corona
emplumada; en la 30 Júpiter y en la 31 Saturno.
 |
| Panel septentrional de la tumba de Senmut. |
Llama la atención la ausencia de Marte. Después
de la enumeración de 6 decanos triangulares, correspondientes a los cinco días
epagómenos, se aprecian Mercurio y Venus, éste último representado como el
pájaro “benu” con una estrella sobre su cabeza.
En el panel orientado al norte se han dibujado
doce círculos de significado desconocido.
En su centro aparecen las constelaciones del
cielo norte, de las que la única identificada es la Osa Mayor, msxtyw,
‘El Muslo’, representada aquí como un toro. En ella se aprecian tres de sus
estrellas más sobresalientes, delta, épsilon y zeta; encima del toro, Serket,
la diosa-escorpión; Anu, un dios con cabeza de halcón; Isis-djamut, la diosa
hipopótamo con un cocodrilo sobre su espalda; Hotep-redwy, un epíteto del dios
Sobek; un hombre con el brazo levantado como queriendo arponear a los cocodrilos;
el león con cola de cocodrilo; Haqu, el ladrón; Saq, el cocodrilo de cola
curvada.
Otras visiones semejantes de la bóveda celeste
las encontramos en la tumba Tebe (2100 a.C.), en el templo funerario de Ramsés
II, el Ramesseum, en el techo del corredor B de la tumba de Ramsés
VI, en la tumba de Pedamenope (560 a.C.) y, como no,
en el hall K de la tumba de Seti I.
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| Techo astronómico de la tumba de Seti I. |
En este último, en su panel superior se observan los decanos,
mientras que en el inferior aparecen las constelaciones del cielo norte
flanqueadas por divinidades.
La representación de las constelaciones en la
cámara funeraria de Seti I muestra algunas diferencias notables con la tumba de
Senmut. Aparecen dos nuevas figuras estelares, el halcón ubicado encima de la
cabeza del león y el hombre que sujeta las dos cuerdas que salen de la parte
posterior del toro.
Una discusión detallada de las correspondencias
entre las constelaciones descritas por los egipcios y las posiciones estelares
actuales sería demasiado extensa y se sale del carácter general de esta
conferencia.
Los Zodiacos
Para finalizar el bagaje astronómico del pueblo
del valle del Nilo, examinaremos brevemente los zodíacos. Estas
representaciones de las constelaciones de la eclíptica tienen su origen en el
mundo mesopotámico, lo que nos habla de las amplias relaciones comerciales y
culturales que existían en los albores de la era cristiana entre ambas
culturas.
 |
| Zodiaco Esna A. |
Todos los zodiacos egipcios conocidos provienen
del periodo grecorromano.
El más antiguo conocido se encontraba en un
templo ptolemaico dedicado a Khnum, situado a unos 4 Km al norte de Esna.
Recibe el nombre de Esna A. Fue destruido en 1843, siendo utilizados sus
bloques para la construcción de un canal. Ha llegado hasta nosotros gracias a
una reproducción de la Descripción de
Egipto de la expedición francesa.
 |
| Zodiaco Dendera E. |
Se trata de
un grabado rectangular, dividido en dos paneles con los signos zodiacales en
los registros intermedios de cada uno de ellos. De Piscis a Leo se aprecian en
el grabado sur, mientras que, en el más septentrional, figurarían desde Virgo a
Escorpio.
Otro zodíaco rectangular se grabó en la sala
hipóstila más exterior del templo de Dendera (Dendera E).
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| Zodiaco circular Dendera B. |
Pero los más estudiados son los que presentan
forma circular, de los que el más representativo es Dendera B, ubicado, en su
origen, en la capilla más oriental del templo dedicada a Osiris. Fue transportado al Museo del Louvre en 1828.
Está soportado por cuatro cabezas humanas representando a las diosas de los
cuatro puntos cardinales, y 4 pares de deidades con cabeza de halcón en aptitud
arrodillada. En el interior del círculo, además de los 36 decanos de la familia
de Tanis y los 12 signos zodiacales, se representan los planetas y algunas
constelaciones circumpolares.
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| Zodiaco de la tumba de Petosiris. |
Otros paneles zodiacales pueden verse en la
tumba de Petosiris, de época tardía (54-84 d.C.) en las cámaras I y II y en la de Petubastis, del periodo romano. Una
representación muy singular, duplicada, se muestra en la tumba de dos hermanos
en Athribis (Siglo II d.C.).
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| Zodiaco de la tumba de Petubastis. |
Las Matemáticas
Asociada a la astronomía, aunque no en tiempos
del Egipto dinástico, están las matemáticas.
La evolución de las Ciencias matemáticas es
paralela al avance de la propia civilización humana y una consecuencia directa
de las necesidades de conocimiento del hombre en cada una de las épocas de la
Humanidad.
Los números naturales (enteros y positivos)
surgen, de forma instintiva, al tener que numerar o contar objetos o personas
(individuos de una tribu, miembros de una familia, alimentos, objetos de la
vida diaria...). El pueblo egipcio desarrolló un sistema de escritura decimal
semejante al utilizado por nosotros en la actualidad y, presumiblemente,
precursor del arábigo, pero no llegaron a conocer el 0.
Su origen parece remontarse a los tiempos
predinásticos. En el capítulo 17 del Libro de los Muertos se puede leer:
‘He reconstituido el ojo
después de haberse apagado el día de la lucha de los Dos Combatientes ¿Qué significa
eso? Se trata del día en que Horus combatió contra Seth, cuando éste arrojó las
inmundicias a la cara de Horus y Horus destruyó los testículos de Seth. Sin
embargo, Thot con sus dedos lo creó’.
Algunos autores quieren ver en este pasaje el
origen del sistema decimal, el contaje de los diez primeros números con los
dedos.
En las sociedades cazadoras de carácter comunitario
y en las de carácter agrícola-comercial, el reparto, ya sea de piezas de carne,
cosechas de grano, campos o tributos, dio origen a los números racionales
fraccionarios (fracciones y decimales periódicos). Con pequeñas excepciones
(2/3 y 3/4), los habitantes del Nilo utilizaron aquellas cuyo numerador es la
unidad y fueron capaces de reducir, como ya veremos, cualquier fracción a una
suma de quebrados con numerador 1.
El siguiente avance científico corresponde a los
números irracionales (decimales no periódicos obtenidos mediante raíces
cuadradas no enteras de números positivos). El ejemplo más típico es p
(3,141592...). Su descubrimiento, que marcaría
un hito histórico en la precisión de la geometría moderna, no estuvo en manos
egipcias, aunque realizaron una aproximación bastante buena.
Todos los conjuntos de números vistos hasta el momento
se incluyen en los números reales, que junto con los complejos (raíces pares de
números negativos) forman el corpus numérico completo.
Su contraparte negativa, es un concepto altamente
evolucionado, fruto de la necesidad de deber algo que no se poseía con
antelación. No se conoce en la sociedad egipcia de época faraónica ningún signo
que represente nuestro (-).
Que los egipcios poseyeron un desarrollo matemático
importante no puede ponerse en duda viendo las grandiosas construcciones
templarias y funerarias erigidas en los dos bancos de arena del Nilo.
El saber matemático egipcio se nos ha revelado a
través de varios papiros matemáticos, el papiro Rhind, referencia esencial para
cualquier obra de la historia de las matemáticas, el rollo matemático de cuero,
el papiro matemático de Moscú, el papiro Reisner y algunos fragmentos de los
papiros de Kahun (IV, LV, ...) traducidos por Griffith.
El papiro matemático Rhind, un conjunto de 14
láminas de 40 cm. de ancho por 32 cm. de alto, fue descubierto junto con un
rollo de cuero matemático de 25 x 42, 5 cm. (BM 10.250) en un pequeño edificio
ruinoso próximo al templo funerario de Ramsés II en Tebas (Ramesseum) y
adquirido por el escocés Alexander
Henry Rhind, de ahí su nombre, en 1858 durante su permanencia, por
razones de salud, en Luxor. Actualmente se encuentra dividido en tres fragmentos,
los papiros del Museo Británico 10.057 y 10.058 y el codificado 37.1784 E del
Museo de Brooklyn.
El manuscrito que ha llegado hasta nuestros días
fue realizado por Ahmosu, un escriba de época hicksa, durante el reinado de Aauserra (Apofis) quien
gobernó Egipto entre 1585-1542 a.C. Según el propio escribiente es copia de un
documento del reino Medio fechado en época de Amenemhat III (1844-1797 a.C.).
Comienza en el fragmento BM 10058 así:
‘Ha sido ahora cuando fue
registrado este rollo de papiro en el año 33 de reinado, cuarto mes de la
estación de “akhet” ... bajo la majestad del rey del alto y bajo Egipto
Aauserra ¡dotado de vida! en concordancia con los escritos de los antiguos que
fueron realizados en época del rey del alto y bajo Egipto Enmaatra por el
escriba Ahmosu, quien registró este papiro’.
Su contenido puede clasificarse en:
1. Operaciones con números racionales enteros y
fraccionarios (Problemas 1/23, 47, 80/1).
2. Resolución de ecuaciones de primer grado (24/7 y
30/8).
3. Los llamados problemas de ‘pensar un número’
(28/9).
4. Progresiones aritméticas (39/40 y 64).
5. Volúmenes, capacidades y poliedros (41/6 y
56/60).
6. Áreas de figuras planas (48/55).
7. Regla para encontrar los dos tercios de números
pares (61/61B).
8. Proporciones (48/55).
9. Progresiones geométricas (79).
10. Miscelánea (80/7).
Estudiar detalladamente cada uno de los grupos
sería tedioso y nos llevaría un curso completo.
Los egipcios, en su escritura jeroglífica, especialmente
en monumentos pétreos, siguieron las reglas más primitivas de adición de trazos
para los nueve primeros dígitos, mientras que para la expresión de los
múltiplos de 10 diseñaron signos específicos.
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| Signos jeroglíficos numéricos. |
Los números fraccionarios se representaban con
el signo ‘ro’
(boca) como numerador unitario, bajo el que se dibujaba el denominador con la
notación convencional. Algunas fracciones muy corrientes tenían signos específicos,
como 1/2 o 1/4.
Para los quebrados con numerador distinto de la
unidad se diseñaron jeroglíficos específicos: 2/3 (rwy) y 3/4 (xmt-rw).
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| Equivalencias del ojo de Horus. |
En el ojo de Horus se encuentran resumidas
varias fracciones de heqat, una medida de grano equivalente a 4,75 L.
Los habitantes de la cuenca del Nilo conocían a
la perfección las cuatro reglas básicas. La suma era una operación corriente en
los registros templarios y existen, en las paredes de las tumbas de nobles,
multitud de ejemplos de repartos de ofrendas y otras viandas.
Los muros del templo de Karnak son un claro
exponente de ello. Así en los Anales de Thutmose III (Urk IV 696, 8/10) leemos:
“31 bueyes y toros más 61
toros de alto porte, en total 92”.
Para la adición de los números fraccionarios se
seguirían las directrices de tablas creadas por escribas expertos semejantes a
las que utilizan nuestros hijos en las escuelas para aprender a multiplicar. En
algunos casos concretos se podían aplicar reglas especiales como la regla G
cuyo enunciado dice: ‘Si uno de los dos denominadores que se van a sumar es ‘n’
veces el otro, el denominador de la suma se halla dividiendo el denominador
mayor por n+1’.
Los
sabios egipcios, instruidos en los templos o casas de la vida, desarrollaron un
sistema de duplicación para multiplicar tanto números enteros como
fraccionarios (wAH tp-m X r sp Y -
depositar de X hasta las veces Y).
La división se realizaría por un proceso inverso
obteniendo el resultado en la columna contraria (wAH
tp-m X r gmt Y
- depositar en X para encontrar Y).
Además de las cuatro reglas aritméticas, parece
que los egipcios eran capaces de calcular cuadrados por el procedimiento de
duplicación y raíces cuadradas sencillas. Griffith traduce las líneas 39-40 del Papiro Kahun LV,
4 (jr.xr.k qnbt 16 xpr m 4), que literalmente significa: ‘Entonces harás
una esquina de 16 y se transformará en 4’, como ‘harás la raíz cuadrada de 16
como 4’.
La importancia de las matemáticas para los
habitantes del país de las Dos Tierras es evidente en la medición de longitudes y áreas para establecer las
demarcaciones de los distintos dominios (tumba de Menna – TT 69) y fijar los
límites de los terrenos cultivables arrendados a los campesinos. Para ello era
imprescindible diseñar un sistema de medidas, tanto de longitud como de
superficie, que facilitaran el registro de propiedades.
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| Codo egipcio. |
La base del cálculo era el codo real (mH) del que nos han llegado
ejemplares de una enorme belleza como el de la tumba de Kha, un arquitecto de
la corte de Amenhotep II, custodiado en el museo Egipcio de Turín. Mide 20,59
pulgadas, unos 52,3 cm. Un codo se dividía en 7 palmos (Ssp) y 28 dedos. También se
diseñaron medidas de orden inferior como el codo corto de 24 dedos, equivalente
a 17,72 pulgadas, y el remen, de 20 dedos (14, 56 pulgadas).
Para distancias mayores se utilizaban dos
múltiplos del codo, el xt, que equivalía a 100 codos, y el jtrw estimado en 2.000 codos
(10,5 Km).
La principal unidad de superficie era la arura, equivalente al área de un
cuadrado de 100 codos de lado.
Como ejemplo del saber egipcio aplicado a las
superficies geométricas tenemos el problema 51 del papiro matemático Rhind:
“Ejemplo de calcular el
área de un triángulo. Así que se te da un triángulo de 10 xt de altura (mrryt) y 4 xt de base (tp-r). ¿Cuál es su área?
Se debe hacer como sigue:
Harás la mitad de 4 en 2 para hacer su rectángulo. Luego multiplicarás 10 x 2.
Ésta es su área”.
Podemos apreciar que aplican la misma fórmula
que utilizamos actualmente, el producto de la semibase por la altura”.
De forma similar fueron capaces de calcular el
volumen de cuerpos geométricos en el papiro matemático de Moscú, como troncos
de pirámide de una forma bastante científica basándose en el volumen que dedujeron
de la disección de un cuerpo cúbico en tres estructuras piramidales.
El cálculo de superficies de polígonos y volúmenes
de poliedros pese a significar un avance considerable en los estudios
geométricos, no tiene parangón con la valoración que los sabios egipcios obtuvieron
del valor de p. Si estudiamos detenidamente
el problema 50 del papiro Rhind obtendremos la respuesta.
En él se nos enseña a calcular el área de un
círculo que tiene 9 xt de diámetro. Lo resuelven según el siguiente
procedimiento: Tomamos 1/9 del diámetro (9), a saber 1; restamos 9-1=8; multiplicamos
8 x 8 = 64.
Acoplando esto a nuestros conocimientos actuales
observamos que pr2 = 64. Como el
radio de nuestro círculo es 4,5 , el valor obtenido para p es 3,16, cuando su valor real es 3,141592…, un
error del 0,58 %, lo que es un logro importante para la época en la que fue
escrito el papiro.
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| Esquema para comprender el cálculo del área de un círculo por los egipcios. |
¿Cómo llegaron a esta aproximación? Parece
evidente que inscribieron un círculo en un cuadrado que dividieron en 9 partes
iguales. Luego hicieron una réplica lineal en un diagrama de 81 casillas (9 x
9). Contabilizaron la parte no afectada por el círculo 4,5 x 4 = 18 y lo llevaron
a una aproximación cuadrada 8 x 8.
Un último aspecto importante de la vida cotidiana
en el Egipto antiguo que queremos tratar fue el comercio, el reparto de las
ofrendas templarias y el pago de salarios entre los obreros y campesinos. Los
cereales, el vino, la cerveza, el incienso y otros muchos productos tenían que
ser tasados para que se pudieran realizar los intercambios comerciales y la
distribución equitativa de las donaciones reales a los templos. Para ello
idearon varias medidas de capacidad y de peso.
Aunque existieron diversas formas de control de
la capacidad relacionadas con las formas de los recipientes, el heqat,
aproximadamente 4,54 L, fue la unidad por excelencia. Para la valoración de los
líquidos se utilizaron con frecuencia el hnw (1/10 de heqat), el ds, el hbnt y el mnj. Un múltiplo del heqat es el XAr, los 2/3 de un codo cúbico.
Desde la XVIII dinastía se utilizó el deben de 10 kedety,
aproximadamente 91 gramos, para pesar los metales.
El escriba Ahmosu en el
problema 62 del papiro matemático Rhind nos habla del shaty, representado como
un sello, quizá con un cierto valor monetario, o mejor una unidad de valoración.
A través de este texto conocemos las diferentes valoraciones de los metales más usados: un deben de oro son 12 shatys, un deben de plata equivalía 6 shatys y un deben de plomo a
3 shatys.
Durante la conferencia
hemos mostrado unas pinceladas del saber astronómico y matemático de los
habitantes de las orillas del Nilo. Sin ser tan vasto como algunos esoteristas
quisieran, es sin duda, muy amplio, desarrollando aspectos tan importantes para
la vida diaria como los calendarios y la resolución de áreas y volúmenes. La
aproximación del número p
es muy precisa para la época en la que fue obtenida y con seguridad supuso un
avance matemático que sería posteriormente retomado por los griegos quienes
crearon la base de nuestros conocimientos geométricos modernos.
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